Hur räknar man ut maximipunkt?

För att räkna ut maximipunkten för en funktion använder du följande steg:

  1. Differentiera funktionen för att hitta dess derivata.
  2. Sätt derivatan lika med noll och lösa ekvationen för att hitta kritiska punkter.
  3. Kontrollera om de kritiska punkterna är lokala maxima genom att undersöka andraderivatan och dess teckenförändring runt dessa punkter.


Låt oss gå igenom ett exempel för att förtydliga:

Vi har funktionen f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x + 7.

Steg 1: Differentiera funktionen för att hitta derivatan:
f'(x) = 6x^2 – 18x + 12.

Steg 2: Sätt derivatan lika med noll och lösa ekvationen:
6x^2 – 18x + 12 = 0.

Faktorisera ekvationen ger:
2(3x^2 – 9x + 6) = 0.
3x^2 – 9x + 6 = 0.

Nu kan vi lösa denna kvadratiska ekvation genom att använda kvadratkomplettering eller kvadratformeln:
x = (9 ± √(9^2 – 4(3)(6))) / (2(3)).
x = (9 ± √(81 – 72)) / 6.
x = (9 ± √9) / 6.
x = (9 ± 3) / 6.

Vi får två kritiska punkter:
x1 = (9 + 3) / 6 = 2.
x2 = (9 – 3) / 6 = 1.

Steg 3: Kontrollera om de kritiska punkterna är lokala maxima.
För att göra detta beräknar vi den andra derivatan och undersöker teckenförändringen runt de kritiska punkterna.

Funktionens andra derivata är:
f”(x) = 12x – 18.

För x1 = 2:
f”(2) = 12(2) – 18 = 24 – 18 = 6.
Eftersom f”(2) är positiv, indikerar det att det finns en lokal minimumpunkt vid x = 2, inte en maximalpunkt.

För x2 = 1:
f”(1) = 12(1) – 18 = 12 – 18 = -6.
Eftersom f”(1) är negativ, indikerar det att det finns en lokal maximalpunkt vid x = 1.

Så maximipunkten för funktionen f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x + 7 är (1, f(1)). För att beräkna värdet av funktionen vid x = 1, ersätter vi x i den ursprungliga funktionen:
f(1) = 2(1)^3 – 9(1)^2 + 12(1) + 7 = 2 – 9 + 12 + 7 = 12.

LÄS MER  Hur räknar man ut sin semesterkvot

Så maximipunkten är (1, 12).

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *