För att räkna ut maximipunkten för en funktion använder du följande steg:
- Differentiera funktionen för att hitta dess derivata.
- Sätt derivatan lika med noll och lösa ekvationen för att hitta kritiska punkter.
- Kontrollera om de kritiska punkterna är lokala maxima genom att undersöka andraderivatan och dess teckenförändring runt dessa punkter.
Låt oss gå igenom ett exempel för att förtydliga:
Vi har funktionen f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x + 7.
Steg 1: Differentiera funktionen för att hitta derivatan:
f'(x) = 6x^2 – 18x + 12.
Steg 2: Sätt derivatan lika med noll och lösa ekvationen:
6x^2 – 18x + 12 = 0.
Faktorisera ekvationen ger:
2(3x^2 – 9x + 6) = 0.
3x^2 – 9x + 6 = 0.
Nu kan vi lösa denna kvadratiska ekvation genom att använda kvadratkomplettering eller kvadratformeln:
x = (9 ± √(9^2 – 4(3)(6))) / (2(3)).
x = (9 ± √(81 – 72)) / 6.
x = (9 ± √9) / 6.
x = (9 ± 3) / 6.
Vi får två kritiska punkter:
x1 = (9 + 3) / 6 = 2.
x2 = (9 – 3) / 6 = 1.
Steg 3: Kontrollera om de kritiska punkterna är lokala maxima.
För att göra detta beräknar vi den andra derivatan och undersöker teckenförändringen runt de kritiska punkterna.
Funktionens andra derivata är:
f”(x) = 12x – 18.
För x1 = 2:
f”(2) = 12(2) – 18 = 24 – 18 = 6.
Eftersom f”(2) är positiv, indikerar det att det finns en lokal minimumpunkt vid x = 2, inte en maximalpunkt.
För x2 = 1:
f”(1) = 12(1) – 18 = 12 – 18 = -6.
Eftersom f”(1) är negativ, indikerar det att det finns en lokal maximalpunkt vid x = 1.
Så maximipunkten för funktionen f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x + 7 är (1, f(1)). För att beräkna värdet av funktionen vid x = 1, ersätter vi x i den ursprungliga funktionen:
f(1) = 2(1)^3 – 9(1)^2 + 12(1) + 7 = 2 – 9 + 12 + 7 = 12.
Så maximipunkten är (1, 12).